下学期 5.5 线段的定比分点
下学期 5.5 线段的定比分点
一.教学目标
1.理解点P分有向线段所成的比λ的含义,能确定λ的正负号;
2.掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式,并能熟练运用这两个公式解决实际问题;
3.向学生渗透数形结合的思想,培养学生的思维能力,发现事物间的变化规律.
二.教学重点 线段的定比分点和终点的坐标公式的应用.
教学难点 用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ>0还时λ<0.
三.教学具准备
投影仪,直尺.
四.教学过程
1.设置情境
已知线段 的两个端点 、 , 为线段 所在直线上任一点,由共线向量知识,必有 .我们能否解决这样的问题,(1)已知 及 、 ,求P点坐标 ;(2)已知 、 及 ,求 值.
本节课就来讨论上述两个问题,(板书课题——线段的定比分点)
2.探索研究
(1)师:请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则.
生:两个向量的和(差)的坐标,等于这两个向量的相应的坐标的和(差);实数与向量的积的坐标,等于这个实数与这个向量的相应坐标的积.
师:已知直线l上两点 、 ,在直线l上取不同于 、 的任一点P,则P点的位置有哪几种情形?
生:有三种情形,P在 之间;P在 的延长线上,P在 的延长线上.
师:请得很好,下面我们就P在直线 上的三种情况给出定义:
设 、 是直线l上的两点,点P是l上不同于 、 的任意一点,若存在一个实数 使 ,则 叫做点P分有向线段 所成的比.
你能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定 的取值范围吗?(启发学生从向量的方向上考虑)
生:当P在 之间时, 与 方向相同,所以 ;当点P在 的延长线上时, ;若点P在 的延长线上时,同理可得 .
下面我们利用平面向量的坐标运算推导定比分点坐标公式
师:设 , ,P分 所成的比为 ,如何求P点的坐标呢?
(按以下思路引导学生进行思考)
师:设 ,你能用坐标表示等式 吗?
生:
师:由两个向量相等的条件,可以得出什么结论呢?
生:
师:对!这就是线段 的定比分点P的坐标公式,特别地,当 时,得中点P的坐标公式:
(2)例题分析
【例1】 已知两点 , ,求点 分 所成的比 及y的值.
解:由线段的定比分点坐标公式得
【例2】 如图所示, 的三个顶点的坐标分别为 , , ,D是边AB的中点,G是CD上的一点,且 ,求点G的坐标.
解:∵D是AB的中点
∴点D的坐标为
∵
∴
由定比分点坐标公式可得G点坐标为:
即点G的坐标为 ,也就是 的重心的坐标公式.
3.演练反馈(投影)
(1)如图所示,点B分有向线段 的比为 ,点C分有向线段 的比为 ,点A分有向线段 的比为 .
(2)连结A(4,1)和B(-2,4)两点的直线,和x轴交点的坐标是 ,和y轴交点的坐标是 .
(3)如图所示, 中,AB的中点是D(-2,1),AC的中点是E(2,3),重心是G(0,1),求A、B、C的坐标.
参考答案:(1) ;(2)(6,0)、(0,3);(3)用三角形基法作图得:A(0,5),B(-4,-3),C(4,1)
4.总结提炼
(1)定比分点的几种表达方式:
……向量式
……坐标式
……公式形式
(2)中点公式,重心公式要熟记.
(3)定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.
五.板书设计
1.定比分点的定义
(1)内分点 3.例1
(2)外分点
a.
b.
2.分点坐标公式 4.演练反馈
a. 5.总结提炼
b.