苹果还能落地吗？——应用“供需”关系理解圆周运动临界问题

苹果还能落地吗？——应用“供需”关系理解圆周运动临界问题

苹果还能落地吗？——应用“供需”关系理解圆周运动临界问题　　丁海锋（杭州第七中学，浙江杭州310024）举世闻名的“牛顿与苹果”的故事为人们所津津乐道，正是在那场苹果与万有引力的较量中，万有引力把苹果拉向地面“赢”了，牛顿从中受启发而发现了万有引力定律．在万有引力定律发现350年后，有这么一棵“苹果树”公然再次挑战万有引力，它能“反败为胜”吗？请看有这么一道关于万有引力的开放性题目：已知地球的半径为6.4xlO&m，地球自转的角速度为7.27xlO_5rad/s，地面的重力加速度为9.8m/S2，在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.9xlOm/S2，第三宇宙速度为16.7xl0m/S2，月地中心间距离为3.84xlOm.假设地球赤道上有一棵苹果树长到了月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，将()A．落向地面B．成为地球的同步“苹果卫星”C．成为地球的“苹果月亮”D.飞向茫茫宇宙笔者就这个题目曾在课堂上让学生探讨过，学生普遍认为答案是A，他们认为苹果落地是司空见惯的现象，牛顿不就是因为苹果落地而发现的万有引力定律吗？而高度只影响下落时间而已．但笔者提出自己的疑惑：月亮也仅受地球的引力，为什么月亮不掉到地球上来呢？偶有学生认为月亮是绕地球旋转的所以不落下来，笔者顺势反问，那难道苹果不转吗？学生这才醒悟他们只考虑了万有引力的存在而忽视了地球自转这个因素，但同样旋转的两个物体为什么会产生不一样的效果呢？该问题顿时激发起学生的好奇心和求知欲．日常生活中我们之所以看到物体总是下落是因为它们都长得太低了，假想它们长到高于某一高度的话，从它们身上脱开的物体就可能不落下反而可能往外飞，因为圆周运动里也蕴涵着供需关系，供需关系是否平衡直接影响物体的运动情况，一、知识准备——什么是匀速圆周运动的供需关系“供”是指物体做圆周运动时，外界实际能提供的向心力（指向圆心的合外力F供），F供由对物体受力分析可知．“需”是指物体做圆周运动时，改变速度方向所需的向心力（由于惯性存在，必须时刻把物体修正到圆轨道上所需的力），即F需=mv2/r2R=mRw2．可以看出同一个物体做确定的圆周运动，运动得越快（即v、w越大），f就越大．不同供需关系能造成三种情形．1．情形一：供需平衡机理：外界实际提供的向心力恰好满足物体时刻沿指定圆轨道运动所需的力（注意和受力平衡的区别）．现象：沿圆轨道做稳定的圆周运动．2．情形二：供过于求机理：外界实际提供的向心力大过于只需将物体修正到指定圆弧轨道的力．现象：脱离圆轨道作向心运动．3．情形三：供不应求机理：外界实际提供的向心力不够，要将物体修正到指定圆弧轨道所需的力．现象：脱离圆轨道做离心运动．二、知识应用——应用“供需”关系评判苹果与万有引力间的较量回到思考题，为了更好地说明问题，我们将这个题提炼成：一根无限长的高杆（代替苹果树）竖直插在赤道的地面上，高杆上在不同高度分别用细绳吊着小球（代替苹果），由于地球自转的存在，空中每个小球都在绕地心做与地球相同的角速度的匀速圆周运动．有了这个模型之后，只要分析出细绳拉力情况（尤其是细绳拉力方向）就可知道此题的结论．分析过程：从需的方面看：杆子上的众小球w相同，高为的小球所需的向心力为F需=(R+h)w020c(R+h)，故位置越高的小球所需的向心力逐渐变大，从供的方面看：杆子的众小球可能有两个力来提供，一个是万有引力F引和另一个绳子拉力F，如果先不考虑细绳的拉力，则物体所受的万有引力为：故位置越高的小球所受万有引力逐渐变小．（如图1）从供需双方可看出：(1)随高度增加供需双方按相反方向变化，故要使小球所受万有引力恰好满足小球所需向心力的位置只可能一个，那就是同步卫星轨道高度日．这个高度供需平衡，即F供需´即GR+H2lTl,(R+H)t.002.绳子没有任何作用力，故小球脱开后，仍不受其影响做原来一样的圆周运动，因此可得长在同步卫星高度的苹果是不会掉到地面上来的，且始终在那个高度成为一颗地球的“苹果卫星”．(2)同步卫星轨道高度以内供过于求就会出现向心运动趋势，小球向内靠，所以绳子马上产生向上的拉力，使供需达到平衡（受力如图1），在绳子向上作用力的协助下小球做稳定的圆周运动，故绳子断后，小球立即做向心运动，小球就会落回地面，因此可得长在同步卫星高度以内的苹果是会掉到地面上来的，这跟现实生活中苹果落地是吻合的．(3)同步卫星轨道高度以外(ha>H)：F引从以上的分析我们可以知道，苹果树长到了月球那么高，已经远在同步卫星轨道高度以外了，当苹果脱离苹果树后，将离开地球飞向茫茫宇宙，所以答案为D.可见，苹果在这次与万有引力的较量中“赢”了，这颗苹果树将公然“违背”定律，脱离地球引力在太空翱翔．为庆祝牛顿万有引力定律发现350周年，英国皇家学会决定再将当年的苹果树的一部分躯干送往阿特兰蒂斯号宇宙飞船，英国籍宇航员皮尔斯·塞勒斯将负责此次苹果树的太空飞行，在接受媒体采访时，难怪塞勒斯开玩笑地表示：“我将会带着苹果树翱翔在太空，这会让牛顿感到困惑．”圆周运动中力和运动的关系由于其速度方向变化而造成矢量性缘故，与直线运动相比较，学生对此更难理解，在圆周运动中力决定着运动，运动也反过来反馈外界施力，因为做圆周运动的物体时刻都需要向心力，所需的向心力的大小由物体的运动情况决定，而向力心是由物体所受的外力来提供，因而供给和需求之间也存在供需平衡、供大于求、供不应求这三种情况、当供需不平衡时，有时可以自动调整到趋于平衡，当然有时也可能始终都调整不到平衡的状态上来，而出现离心或向心运动，通过引进苹果是否落地的猜想的思考题，题目本身就非常夺人眼球，给人以无限的想象空间，很好地激发了学生的求知欲，教师的释疑过程就是一个很好的使学生在解疑中理解圆周运动中的供需关系的过程，三、知识迁移——应用“供需”关系理解竖直圆周运动临界问题上述思考题的分析思路是：由F需出发分析外界施力（F需F供）．因为对细绳受力方向不清楚，我们采取的办法是从先分析圆周运动物体所需向心力，因为众小球w。相等的限制，使得从内到外需求单调地增大，由供需关系可知小球做圆周运动要求外界提供等量的向心力，从而轻松知道物体受力细节情况．反过来，也可以由F供出发分析物体的运动量（F供F需）．如果情境是外界对物体实际提供的向心力有限定时，由供需关系可知物体做圆周运动亦要由相应的运动量来配合，从而轻松知道物体运动细节情况，这个模式经常应用在竖直圆周运动的临界问题分析，应用F供与F需分析竖直圆周运动几种模型最高点临界条件：第一种类型：无支撑型（细绳与球、外轨与球）（如图2）总之，通过从供需关系角度理解圆周动力学问题，学生不但容易掌握，而且理解透彻，真正从本质上掌握了圆周运动，并且不但理解了圆周运动，而且对于物体为什么会做向心运动和离心运动有了更加深刻的理解，应用起来将会得心应手。