不等式证明

不等式证明

不等式，是指在初等与高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。以下是小编为大家收集的不等式证明，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

不等式证明

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..

(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当 a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当 a<0时，f(x)>0(或< 0).△>0(或< 0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证 A≥B，可将 B适当放大，即 B1≥B，只需证明 A≥B1。相反，将 A适当缩小，即 A≥A1，只需证明 A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

扩展资料：

证明几种不等式的方法及常用的一些不等式，该文中的方法既包含了初等数学的方法也包含了高等数学的方法，且每个方法都对应一个题目，方便大家来理解并应用它们，但本文不再去证明一些不等式，直接去利用它们的结论。

一、不等式的一些性质

这一块相对是很简单的，所以就不再过多赘述（例如乘法单调性、相加法则等等）

二、比较法

比较法是直接作出所求不等式两边的差（或商）然后推演结论的办法。

三、综合法

综合法是“由因导果”，从一直条件出发，依据不等式性质、函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式。

四、分析法

分析法是“执果索因”从所求证得结论出发，步步推求使之不能成立的充分条件（或充要条件）直至归结到已知条件或已知结论为止。

五、反证法

先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性。

六、换元法

换元法是根据不等式的结构特征，选取适当的变量代换，从而使其不等式化繁为简。

七、构造法

通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式

八、数学归纳法

该方法在此把内容呈现给大家就行了，具体题目就不在此呈现了。数学归纳法有四种（第一类数学归纳法、第二类数学归纳法、跳跃数学归纳法、反向数学归纳法）这里几乎用的都是第一类。

九、放缩法

放缩法又称传递法，它是根据不等式的传递性，将所求证得不等式的一边适当地放大或缩小，是不等关系变得明朗化，从而证得不等式成立。